Derivada total

Se simboliza por:

Y viene a ser la suma de los productos de la derivada parcial de una o más funciones por sus respectivos diferenciales, es decir:

Si: W=f(x, y, z) ; x= f(t) , y= f(t) , z= f(t)

Ejemplo:

Existen varias formas de resolver este ejercicio pero teniendo en cuenta las formulas estudiadas solo daremos a conocer dos formas de solución:

Solución 1:

Primero derivamos “V” en cada una de sus variables:

 

 

Luego derivamos las mini funciones (x, y, z) con respecto a la variable “t”:

 

 

Luego aplicamos la fórmula:

Y reemplazamos las variables x, y , z por sus equivalencias en función de “t”

 

Solución 2

Reemplazamos en la formula principal (V) los valores en función de “t”

La nueva función la derivamos con respecto a “t”

 

 

La solución 2 no respeta la fórmula y aparentemente resulta más fácil de hacer, sin embargo, no siempre es efectiva existen casos en los cuales la solución 2 no es la apropiada.

Derivadas Aplicadas a las Ciencias Empresariales

R = P (X)

U = R - C

X= unidades de producción

U: utilidad

R: ingresos

C: costos

P: precio

La función promedio se halla así:

La función marginal se halla así:

La función promedio marginal se halla así:

 

Problemas:

A) Si: R(X)=100X + X² +200 hallar el ingreso promedio y el ingreso marginal, Si la cantidad producida fue de 1500 unidades, y el ingreso esta en dólares. 150000

Desarrollo:

Ingreso promedio:

Ingreso marginal:

B) Teniendo en cuenta que el precio de venta es de 20 dólares, determine la utilidad promedio marginal, si se sabe que el costo total es: C(X)= 15 X² + 10 X + 5 y la cantidad producida es de 300 unidades.

Desarrollo:

U(X)=R(X)- C(X)= 20 X -15 X² - 10 X - 5= - 15 X² + 10 X – 5

Derivadas

Sean:

“a”, “n”, “c” constantes (números)

“u” y “V” funciones

Aplicación a las derivadas:

Algebraicas

Trigonométricas:

Exponenciales:

Logarítmicas:

Datos adicionales:

La derivada de una variable es considerada la unidad, y la derivada de un numero cualquiera es cero. Ejm:

Da clic para seguir el vinculo:

Derivadas de orden superior

Derivadas aplicadas a las ciencias empresariales

Derivadas parciales de primer orden

Derivadas parciales de segundo orden

Diferencial total

Derivada total

Derivación implícita

Delta, máximos y mínimos

Derivación Implícita

 

Existe haciendo que f(x, y) = 0 y su fórmula es la siguiente:

Ejm:

 

La función está determinada por:

 

Hallar:

 

Desarrollo :

Derivadas Parciales de Segundo Orden

Se vuelve a derivar de acuerdo a lo que se indique y las cuatro más comunes son:

CASO 1

 

Se deriva dos veces con respecto a “x” o a la variable indicada

CASO 2

Se derivan las variables que indica ya sea “x” e “y” o cualquiera que se indique

Ejemplo:

Si se tiene la función con respecto a “x” e “y” : hallar el caso 1 con respecto a “X” y luego con respecto a “Y”, y el CASO 2:

Desarrollo:

 

Derivadas de orden superior

Son derivadas múltiples de una función y se determinan de la siguiente manera:

Si Y=f_(x) entonces Y^II =((f_(x))^,)^,

Las derivadas de orden superior pueden ser: Y^II, Y^III, Y^IV... Yⁿ

Ejm:

Hallar:

Y^II de la función:

Derivadas Parciales de Primer Orden

En estos casos solo se deriva con respecto a una sola variable por ejemplo: