Costo mínimo

Si una empresa desea minimizar sus costos en primer lugar debe hacer un trabajo profundo en temas logísticos y de obtención de materia prima, así como tributarios, en este caso no se tratarán esos temas, solo se tratara el cómo obtener la cantidad que se debe producir para que el costo sea mínimo al ya tener una ecuación de costo definida; para ello se debe derivar la función de costo e igualarse a cero para obtener la cantidad en la cual el costo es mínimo.

Ejm:

Una empresa tiene la función de costos siguiente: C = 0.01 X² - 2X + 1000;

a) Halla la cantidad para que el costo sea mínimo,

b) Hallar el costo mínimo,

c) Hallar el costo de producir 70 y 120 unidades.

Desarrollo:

a) La cantidad para que el costo sea mínimo:

0.02X-2= 0                         X= 100

b) Hallar el costo mínimo:

Reemplazamos la cantidad: C = 0.01(100)² – 2(100) + 1000= 900 dólares

c) Hallar el costo de producir 70 y 120 unidades:

Para producir 70 unidades C = 0.01(70)² – 2(70) + 1000= 909 dólares

Para producir 120 unidades C = 0.01(120)² – 2(120) + 1000=904  dólares

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Ingreso máximo

Si una empresa desea saber que cantidad debe producir para que su ingreso sea máximo primero debe tener en cuenta dos factores: la cantidad producida y el precio del articulo, estos factores fundamentales permitirán obtener la ecuación de ingreso, esta debe ser derivada y luego igualada a cero:

Ejm:

El ingreso de un bien esta determinado por la función :

Donde “x” el número de unidades, determine cuanto es el ingreso máximo y la cantidad para la cual el ingreso es máximo.

 

Desarrollo:

Derivamos para hallar el ingreso máximo:

Igualamos la función a cero

4.2- 0.1x =0 X = 42 es la cantidad para la cual el ingreso es máximo

Si reemplazamos esa cantidad en la ecuación de ingreso:

R= 4.2(42)-0.05(42)²= 88.2 dólares.

Recuerda: para que el resultado este correcto la función de ingreso debe ser correcta, si tienes la ecuación de demanda despeja el precio y luego recuerda la ecuación: R = P*X (donde R= ingreso, P = precio y X= cantidad) , es decir multiplicas el precio por la cantidad y obtienes la ecuación de ingreso.

Derivadas de orden superior

Son derivadas múltiples de una función y se determinan de la siguiente manera:

Si Y=f_(x) entonces Y^II =((f_(x))^,)^,

Las derivadas de orden superior pueden ser: Y^II, Y^III, Y^IV... Yⁿ

Ejm:

Hallar:

Y^II de la función:

Derivadas Parciales de Primer Orden

En estos casos solo se deriva con respecto a una sola variable por ejemplo:

 

Ejercicios de Costos

1) El costo variable de procesar 1 kg de azúcar es de S/. 0.59 y los costos fijos por día son de S/.5000

a) Encuentra la ecuación de costo lineal y grafique.

b) Determine el costo de producir 6000 kilogramos de azúcar en un día y diarios por una semana.

Desarrollo:

a) Para hallar la ecuación de costo ordenamos datos:

0,59 x + 5000

b) Por producir 6000 kilogramos:

 

Por producir 6000 diarios por una semana:

 

2) El costo de fabricar 25000 celulares es de $ 12500000 mientras que producir 100000 celulares del mismo tipo al día es de $ 47000000, si es un modelo de costo lineal determine:

 

a) La relación entre el costo total de producir “X” celulares al día y gráfica.

b) ¿Cuántos celulares se pueden producir con $ 30000000?

Desarrollo:

a) Primero simulamos las funciones de costo teniendo en cuenta los siguientes datos:

Función de costos 1:

CT= 12500000

X= 25000

Función de costos 2:

CT = 47000000

X = 100000

Recordar que ambas funciones de costos pertenecen a una sola, es decir:

Ahora ordenamos datos:

Ahora para hallar el costo fijo reemplazamos en la ecuación el valor del costo variable:
25000 (460) + B = 12500000

11500000 + B = 12500000

B = 1000000

La ecuación de costos queda de la siguiente manera:

CT = 460 X + 1000000

b) Para hallar la cantidad de celulares que se pueden producir igualamos la cantidad de dinero con la ecuación de costo total:

30000000 = 460 X + 1000000

29000000 = 460 X

X = 63043,48

Se pueden producir 63043 celulares con $ 30000000

ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO

Es el punto en el cual los costos y los ingresos son iguales, es decir no existe ni perdida (CT > I) ni ganancias (I > CT).

 

Caso de Aplicación:

En una fábrica de vehículos el costo de mano de obra y de los materiales por auto es de S/. 60000 y los costos fijos son de S/. 15000000 al día( si se vende cada reloj en S/. 150000), ¿Cuántos autos debe producir y vender a diario con el objeto de garantizar que el negocio no tenga ganancias ni pérdidas?

Desarrollo:

Primero hallamos la función de costos:

60000 X + 15000000

Luego hallamos la función de ingreso:

150000 x

Luego igualamos las formulas y hallamos el equilibrio:

60000 X + 15000000 = 150000 X

15000000 = 150000 X - 60000 X

15000000 = 90000 X

166,67 = X

Se deben producir 166 carros para no perder ni ganar.

INGRESO

Es la entrada de capitales de una empresa producto de la venta de su producción sin definir los costos, está en función del precio y la cantidad producida, su representación matemática es: