UTILIDAD

Es la ganancia neta de la empresa, es decir lo que queda del ingreso al definir los costos, su representación matemática es:

 

 

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Para determinar el dominio y rango de una función se deben considerar tres formas:

1. Forma simbólica.- los primeros elementos de un par ordenado son considerados el dominio y los elementos segundos son el rango.

2. Forma gráfica.- observar el dominio en el eje “X” y el rango en el eje “Y”

3. Forma analítica.- para hallar el dominio primero debemos despejar la variable en el eje “Y”; para hallar el rango la variable “X” debe despejarse; y debemos considerar:

 

Ejm:

Hallar el dominio en:

- En primer lugar como lo que debemos hallar es el dominio entonces debemos despejar la “y”, en este caso ya está despejada.

Ahora consideramos la primera opción dada en la forma analítica:

 

 

Ahora lo ubicamos en la gráfica:

Y obtenemos como resultado:

Para más información de este ejercicio da clic para seguir el vínculo:

Intervalos

Derivadas Parciales de Segundo Orden

Se vuelve a derivar de acuerdo a lo que se indique y las cuatro más comunes son:

CASO 1

 

Se deriva dos veces con respecto a “x” o a la variable indicada

CASO 2

Se derivan las variables que indica ya sea “x” e “y” o cualquiera que se indique

Ejemplo:

Si se tiene la función con respecto a “x” e “y” : hallar el caso 1 con respecto a “X” y luego con respecto a “Y”, y el CASO 2:

Desarrollo:

 

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Función

Es una regla que denota que un elemento de un conjunto es correspondiente a otro único elemento de otro conjunto.

 

Ejm:

(1,4); (2,4); (3,4)

 

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DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

GRÁFICA DE FUNCIONES

COSTO LINEAL

Las empresas en su proceso productivo incurren en costos, estos costos puede ser:

Costos fijos (CF).- son costos permanentes a los que no los influye la cantidad de producción que se realiza Ejm: el pago de un seguro, el pago de los salarios de administración, el pago de alquiler de un local, los impuestos, etc.

Costos variable (CV).- Es el costo relacionado proporcionalmente con el nivel de producción. Ejm: el costo de la materia prima, el pago a los obreros a destajo, uso de servicios, etc.

Costos variable unitario (m).- es el costo variable dividido entre cada unidad producida.

El costo total (CT).- es la suma de los costos variables con los costos fijos, se representa matemáticamente así:

 

 

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Ejercicios de costos

Costo mínimo

Si una empresa desea minimizar sus costos en primer lugar debe hacer un trabajo profundo en temas logísticos y de obtención de materia prima, así como tributarios, en este caso no se tratarán esos temas, solo se tratara el cómo obtener la cantidad que se debe producir para que el costo sea mínimo al ya tener una ecuación de costo definida; para ello se debe derivar la función de costo e igualarse a cero para obtener la cantidad en la cual el costo es mínimo.

Ejm:

Una empresa tiene la función de costos siguiente: C = 0.01 X² - 2X + 1000;

a) Halla la cantidad para que el costo sea mínimo,

b) Hallar el costo mínimo,

c) Hallar el costo de producir 70 y 120 unidades.

Desarrollo:

a) La cantidad para que el costo sea mínimo:

0.02X-2= 0                         X= 100

b) Hallar el costo mínimo:

Reemplazamos la cantidad: C = 0.01(100)² – 2(100) + 1000= 900 dólares

c) Hallar el costo de producir 70 y 120 unidades:

Para producir 70 unidades C = 0.01(70)² – 2(70) + 1000= 909 dólares

Para producir 120 unidades C = 0.01(120)² – 2(120) + 1000=904  dólares

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Ingreso máximo

Si una empresa desea saber que cantidad debe producir para que su ingreso sea máximo primero debe tener en cuenta dos factores: la cantidad producida y el precio del articulo, estos factores fundamentales permitirán obtener la ecuación de ingreso, esta debe ser derivada y luego igualada a cero:

Ejm:

El ingreso de un bien esta determinado por la función :

Donde “x” el número de unidades, determine cuanto es el ingreso máximo y la cantidad para la cual el ingreso es máximo.

 

Desarrollo:

Derivamos para hallar el ingreso máximo:

Igualamos la función a cero

4.2- 0.1x =0 X = 42 es la cantidad para la cual el ingreso es máximo

Si reemplazamos esa cantidad en la ecuación de ingreso:

R= 4.2(42)-0.05(42)²= 88.2 dólares.

Recuerda: para que el resultado este correcto la función de ingreso debe ser correcta, si tienes la ecuación de demanda despeja el precio y luego recuerda la ecuación: R = P*X (donde R= ingreso, P = precio y X= cantidad) , es decir multiplicas el precio por la cantidad y obtienes la ecuación de ingreso.